La একটি বীজগাণিতিক রাশি ফ্যাক্টরিং এটি এমন একটি পদ্ধতি যার দ্বারা বলা হয় অভিব্যক্তিকে সহজ কারণের গুণিতক হিসাবে লেখা হয়। অন্য কথায়, যখন বহুপদী ফ্যাক্টরিং, উদ্দেশ্য হল এমন পদগুলি খুঁজে বের করা যেগুলিকে গুণ করা হলে উৎপত্তির একই বীজগাণিতিক অভিব্যক্তি হয়।
বীজগণিতের ক্ষেত্রে এই প্রক্রিয়াটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এটি সমীকরণগুলিকে সরলীকৃত এবং অনেক বেশি পরিচালনাযোগ্য করার অনুমতি দেয়। তদ্ব্যতীত, একটি বহুপদকে ফ্যাক্টর করার সময় সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ উদ্দেশ্যগুলির মধ্যে একটি হল এটিকে উপস্থাপন করা নিম্ন ডিগ্রির অন্যান্য বহুপদীর গুণফল.
ধারণাটি আরও ভালভাবে বোঝার জন্য, আসুন একটি মৌলিক উদাহরণ বিবেচনা করি:
বীজগাণিতিক রাশি: x(x + y)
এই অভিব্যক্তির পদগুলিকে গুণ করে, আমরা পাই:
x2 + এক্সআই
এভাবে: x(x + y) = x2 + এক্সআই
La ফ্যাক্টরিং এটি শুধুমাত্র এই কারণেই কার্যকর নয় যে এটি সমস্যা সমাধানকে সহজ করে, কিন্তু এটি আপনাকে একটি বীজগণিতীয় অভিব্যক্তির শর্তাবলীর মধ্যে বৈশিষ্ট্য এবং সম্পর্ক সনাক্ত করতে দেয়।
সাধারণ বিষয়
ফ্যাক্টরাইজেশন কৌশলগুলি দিয়ে শুরু করার আগে, শব্দটির অর্থ কী তা বোঝা অপরিহার্য। সাধারণ সমস্যা. একটি বহুপদীর মধ্যে সাধারণ ফ্যাক্টর অনুসন্ধান করার মাধ্যমে, আমরা একটি শব্দ সনাক্ত করার লক্ষ্য রাখি যা অভিব্যক্তির সমস্ত পদে পুনরাবৃত্তি হয়, আমাদেরকে এটিকে সরল করার অনুমতি দেয়।
যাইহোক, এটা মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ যে ফ্যাক্টরিং সবসময় সম্ভব নয়। ফ্যাক্টরাইজ করার জন্য, কাজ করার জন্য কমপক্ষে একটি সাধারণ শব্দ থাকতে হবে। অন্যথায়, এটি আরও সরলীকরণ করা যাবে না।
উদাহরণস্বরূপ, অভিব্যক্তিতে:
xa + yb + zc
আর অবশিষ্ট নেই সাধারণ সমস্যা শর্তাবলীর মধ্যে, তাই ফ্যাক্টরাইজেশন করা যাবে না।
আসুন আরেকটি কেস দেখি যেখানে এটি সম্ভব:
a2x + a2y
এখানে সাধারণ ফ্যাক্টর হল a2. সরলতার জন্য, আমরা এই সাধারণ গুণক দ্বারা উভয় পদকে ভাগ করি:
- a2x a দ্বারা বিভক্ত2, যা x দেয়
- a2y a দ্বারা বিভক্ত2, এটা কি দেয় এবং
অবশেষে, ফ্যাক্টরযুক্ত অভিব্যক্তি হল:
a2(x+y)
বহুপদী ফ্যাক্টরিং এ সাধারণ ফ্যাক্টর ব্যবহার করা
অনেক ক্ষেত্রে, একটি বহুপদীর কিছু পদ a থাকবে সাধারণ সমস্যা, অন্যরা না যখন. এই পরিস্থিতিতে, কি করা উচিত a শব্দ গ্রুপিং, যাতে গোষ্ঠীবদ্ধ পদগুলি একটি সাধারণ ফ্যাক্টর ভাগ করে।
উদাহরণস্বরূপ, অভিব্যক্তিতে:
xa + ya + xb + yb
আমরা শর্তগুলিকে বিভিন্ন উপায়ে গোষ্ঠীবদ্ধ করতে পারি:
(এক্সএ + ইয়া) + (এক্সবি + ইবি)
যদি আমরা গোষ্ঠীবদ্ধ পদগুলি বিশ্লেষণ করি, আমরা প্রতিটি গ্রুপে একটি সাধারণ ফ্যাক্টর লক্ষ্য করতে পারি:
a(x + y) + b(x + y)
অবশেষে, আমরা নিম্নরূপ অভিব্যক্তি ফ্যাক্টর করতে পারি:
(x + y)(a + b)
এই কৌশলটিকে "গ্রুপিং ফ্যাক্টরাইজেশন" বলা হয় এবং এটি আপনাকে বহুপদকে সরল করার অনুমতি দেয় এমনকি যখন সমস্ত পদ একই সাধারণ ফ্যাক্টর না থাকে। এটি লক্ষ করা উচিত যে গ্রুপ করার একাধিক উপায় রয়েছে এবং ফলাফল সর্বদা একই হবে। উদাহরণস্বরূপ, এই একই ক্ষেত্রে, আমরা নিম্নরূপ শর্তাবলী গোষ্ঠীবদ্ধ করতে পারি:
(এক্সএ + এক্সবি) + (ইয়া + ইবি)
যা আবার, এর দিকে নিয়ে যায়:
x(a + b) + y(a + b)
শেষ পর্যন্ত, আমরা একই ফলাফল পেতে পারি:
(a + b)(x + y)
এই প্রক্রিয়াটি পরিবর্তনমূলক আইন দ্বারা সমর্থিত, যা বলে যে কারণগুলির ক্রম চূড়ান্ত পণ্যকে পরিবর্তন করে না।
উন্নত পদ্ধতি: উল্লেখযোগ্য পণ্য ব্যবহার করে ফ্যাক্টরিং
বহুপদকে ফ্যাক্টর করার অন্যান্য পদ্ধতি রয়েছে, যার মধ্যে উল্লেখযোগ্য পণ্য. সবচেয়ে সাধারণ উল্লেখযোগ্য পণ্য হল নিখুঁত বর্গক্ষেত্র ত্রিনামিক এবং x ফর্মের ত্রিনামিক2 + বিএক্স + সি. এছাড়াও অন্যান্য উল্লেখযোগ্য পণ্য রয়েছে, তবে সেগুলি দ্বিপদগুলিতে বেশি প্রয়োগ করা হয়।
পারফেক্ট বর্গক্ষেত্রের ত্রয়ী
Un নিখুঁত বর্গক্ষেত্র ত্রিনামিক এটি একটি বহুপদ যা তিনটি পদের সমন্বয়ে গঠিত, যা একটি দ্বিপদকে বর্গ করার ফলাফল। নিয়ম বলে যে প্রক্রিয়াটি এই কাঠামোটি অনুসরণ করে: প্রথম পদের বর্গ, প্রথম পদের দুইবার দ্বিতীয় মেয়াদের বার, দ্বিতীয় পদের বর্গক্ষেত্র.
একটি নিখুঁত বর্গাকার ত্রিনামিক ফ্যাক্টর করতে, আমরা এই পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করি:
- আমরা প্রথম এবং তৃতীয় পদের বর্গমূল বের করি।
- আমরা শিকড়গুলিকে চিহ্ন দ্বারা পৃথক করি যা দ্বিতীয় মেয়াদের সাথে মিলে যায়।
- আমরা যে দ্বিপদ গঠিত হয় তাকে বর্গ করি।
এর একটি উদাহরণ তাকান যাক:
4a2 - 12ab + 9b2
- 4a এর বর্গমূল2: 2a
- 9b এর বর্গমূল2: 3 বি
ট্রিনোমিয়ালকে এইভাবে গুণিত করা হয়:
(2a - 3b)2
এক্স রূপের ত্রয়ী2 + বিএক্স + সি
এই ধরনের ত্রিনয়কের নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা এটিকে আরও সহজে ফ্যাক্টর করার অনুমতি দেয়। এই ফর্মের একটি ত্রিনমিক ফ্যাক্টরিজেবল হওয়ার জন্য, এটি অবশ্যই নিম্নলিখিত মানদণ্ডগুলি পূরণ করবে:
- প্রথম পদটির সহগ অবশ্যই 1 হতে হবে।
- প্রথম পদটি অবশ্যই একটি বর্গীয় পরিবর্তনশীল হতে হবে।
- দ্বিতীয় পদে একই পরিবর্তনশীল আছে, কিন্তু বর্গক্ষেত্র নয় (এটির একটি সূচক 1 আছে)।
- দ্বিতীয় পদের সহগ ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে।
- তৃতীয় পদটি এমন একটি সংখ্যা যা পূর্ববর্তীগুলির সাথে সরাসরি সম্পর্কিত নয়।
এই ফ্যাক্টরাইজেশনের একটি উদাহরণ নিম্নলিখিত ত্রিনমিক হবে:
x2 +9x +14
এটি ফ্যাক্টর করতে, এই প্রক্রিয়াটি অনুসরণ করুন:
- আমরা ত্রিনামিকটিকে দুটি দ্বিপদে বিভক্ত করি।
- প্রতিটি দ্বিপদীর প্রথম পদটি ত্রিনয়কের প্রথম পদের বর্গমূল (এই ক্ষেত্রে, "x")।
- দ্বিপদগুলির চিহ্নগুলি ত্রিনয়কের দ্বিতীয় এবং তৃতীয় রাশি অনুসারে নির্ধারিত হয় (এই ক্ষেত্রে ধনাত্মক)।
- আমরা দুটি সংখ্যা খুঁজছি যেগুলিকে গুণ করলে 14 দেয় এবং যোগ করলে 9 দেয় (বিকল্পগুলি 7 এবং 2)।
এইভাবে, গুণিত ত্রিনমিক হল:
(x+7)(x+2)
অতিরিক্ত পদ্ধতি: ফ্যাক্টর উপপাদ্য এবং রুফিনির নিয়ম
El ফ্যাক্টর উপপাদ্য বলে যে একটি বহুপদী ফর্মের বহুপদী দ্বারা বিভাজ্য (x – a) যদি, x = a-এর জন্য মূল বহুপদকে মূল্যায়ন করলে ফলাফল 0 হয়। এই উপপাদ্যটি বহুপদীর মূল খুঁজে বের করার জন্য উপযোগী এবং ফ্যাক্টরিংকে সহজ করে তোলে। এটা প্রায়ই সঙ্গে সমন্বয় ব্যবহার করা হয় রুফিনির নিয়ম, বহুপদী বিভাগ সম্পাদনের জন্য একটি সরলীকৃত পদ্ধতি।
ডিগ্রী 3 বা উচ্চতর বহুপদীর সাথে কাজ করার সময় এই সরঞ্জামগুলি বিশেষভাবে উপযোগী, যেখানে নিখুঁত বর্গাকার ত্রিনমিক বা উল্লেখযোগ্য পণ্যগুলির মতো সহজ পদ্ধতিগুলি প্রয়োগ করা সম্ভব নয়।
সবশেষে, এটা মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ যে সমস্ত বহুপদকে সহজে ফ্যাক্টর করা যায় না। কিছু ক্ষেত্রে, বহুপদীর শিকড় খুঁজে পেতে আরও উন্নত পদ্ধতি বা সংখ্যাগত কৌশল অবলম্বন করা প্রয়োজন। যাইহোক, মৌলিক বীজগণিতের বেশিরভাগ উদাহরণ এই সরঞ্জামগুলি ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে।
ফ্যাক্টরিং বীজগণিতের একটি শক্তিশালী হাতিয়ার কারণ এটি আপনাকে জটিল অভিব্যক্তিকে সরল করতে এবং সমীকরণগুলিকে আরও দক্ষতার সাথে সমাধান করতে দেয়। বহুপদী ফ্যাক্টরিং এর বিভিন্ন পদ্ধতি আয়ত্ত করে, আমরা বিভিন্ন ধরণের সমস্যার দ্রুত এবং আরও কার্যকর সমাধান প্রয়োগ করতে পারি।