সহস্রাব্দের সমস্যা: সবচেয়ে বড় অমীমাংসিত গাণিতিক ধাঁধা

কলগুলি সহস্রাব্দের সমস্যা সাতটি গাণিতিক সমস্যা রয়েছে ক্লে ম্যাথমেটিক্স ইনস্টিটিউট 2000 সালে, গাণিতিক সম্প্রদায়ের কাছে একটি চ্যালেঞ্জ হিসাবে। প্রতিশ্রুত পুরস্কার হল এক মিলিয়ন ডলার এই প্রতিটি সমস্যার জন্য যদি তারা সমাধান করা হয়। যাইহোক, আজ পর্যন্ত, তাদের মধ্যে শুধুমাত্র একটি প্রদর্শিত হয়েছে. এই সমস্যাগুলি বর্তমান গণিতের মধ্যে সবচেয়ে জটিল হিসাবে বিবেচিত হয়, এবং তাদের সমাধান শুধুমাত্র গণিতেই নয়, পদার্থবিদ্যা, কম্পিউটার বিজ্ঞান এবং ক্রিপ্টোগ্রাফির মতো সংশ্লিষ্ট ক্ষেত্রেও উল্লেখযোগ্য অগ্রগতির প্রতিনিধিত্ব করতে পারে।

সহস্রাব্দের সমস্যা কি?

The সহস্রাব্দের সমস্যা এগুলি অনুমান বা গাণিতিক বিবৃতিগুলির একটি সিরিজ যার জন্য এটি যাচাই করা হয়েছে যে তারা পরিচিত প্রমাণের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, তবে এখনও একটি সমাধান পাওয়া যায়নি। কঠোর গাণিতিক প্রমাণ যে তাদের বৈধতা. এই সমস্যাগুলির মধ্যে একটি সমাধান করার জন্য কেবল বিবৃতিটিকে গভীরভাবে বোঝা নয়, বরং একটি কঠিন গাণিতিক ভিত্তিতে এর সত্যতা প্রদর্শন করা জড়িত। এই সমস্যাগুলির মধ্যে শুধুমাত্র একটি সমাধান করা হয়েছে এই সত্যটি এখন পর্যন্ত সাক্ষ্য দেয় অসুবিধা তাদের মধ্যে।

El ক্লে ম্যাথমেটিক্স ইনস্টিটিউট গাণিতিক জ্ঞানের অগ্রগতি উন্নীত করার জন্য এই সমস্যাগুলি তৈরি করেছে। যদি একটি সমস্যা সমাধান করা হয়, ইনস্টিটিউটটি আধুনিক গণিতের সবচেয়ে জটিল কিছু প্রশ্নের সমাধান করার জন্য শুধুমাত্র সম্মানই দেয় না, বরং একটি পুরস্কারও দেয়। এক মিলিয়ন ডলার. মোট, প্রাথমিকভাবে প্রস্তাবিত সাতটি চ্যালেঞ্জ রয়েছে, যার মধ্যে এখন পর্যন্ত মাত্র একটি সমাধান করা হয়েছে। আসুন নীচে দেখি এই সমস্যাগুলি কী কী।

পয়েন্টকারি অনুমান

La পয়েন্টকারি অনুমান এটিই একমাত্র সহস্রাব্দ সমস্যা যা আজ পর্যন্ত সমাধান করা হয়েছে। এটি 1904 সালে ফরাসি গণিতবিদ হেনরি পয়ঙ্কার দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছিল এবং এর ক্ষেত্রে একটি অনুমান জাহির করেছিল টপোলজি, ত্রিমাত্রিক গোলকের বৈশিষ্ট্যের সাথে সম্পর্কিত। অনুমানটি বলে যে যেকোন ত্রিমাত্রিক বহুগুণ যা সহজভাবে সংযুক্ত থাকে তা অবশ্যই একটি ত্রিমাত্রিক গোলকের সাথে হোমোমরফিক হতে হবে।

অনুমানটি অবশেষে রাশিয়ান গণিতবিদ দ্বারা সমাধান করা হয়েছিল গ্রিগরি পেরেলম্যান 2002 সালে, যিনি একটি অপ্রচলিত উপায়ে তার প্রমাণ প্রকাশ করেছিলেন: তিনি এটি একটি বৈজ্ঞানিক জার্নালে জমা দেওয়ার পরিবর্তে অনলাইনে প্রকাশ করেছিলেন। যদিও তার পদ্ধতি সম্পর্কে প্রাথমিকভাবে সংশয় ছিল, তার কাজ অন্যান্য গণিতবিদদের দ্বারা যাচাই করা হয়েছিল এবং 2006 সালে, তিনি ফিল্ড মেডেল. যাইহোক, পেরেলম্যান ক্লে ইনস্টিটিউটের দেওয়া পুরস্কার এবং মিলিয়ন ডলার উভয়ই প্রত্যাখ্যান করেছিলেন।

পি বনাম এনপি

সবচেয়ে বিখ্যাত সমস্যা এক কম্পিউটিং তত্ত্ব বলা হয় পি বনাম এনপি. এই গাণিতিক ধাঁধাটি প্রশ্ন উত্থাপন করে যে দ্রুত যাচাই করা যায় এমন সমস্ত সমস্যাগুলিও দ্রুত সমাধান করা যায় কিনা। আরও আনুষ্ঠানিক পরিভাষায়, সমস্যা হল P (সমস্যার সেট যা বহুপদী সময়ে সমাধান করা যায়) NP (সমস্যার সেট যার ফলাফল বহুপদী সময়ে যাচাই করা যায়) সমান কিনা তা নির্ধারণ করা।

এই সমস্যাটি সমাধান করা সহ বিভিন্ন ক্ষেত্রে বৈপ্লবিক প্রভাব ফেলবে ক্রিপ্টোগ্রাফি, লা কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা এবং অপ্টিমাইজেশান. P যদি NP-এর সমান হতো, অনেক কাজ যা আজ কম্পিউটারের জন্য অত্যন্ত জটিল, যেমন পাসওয়ার্ড বোঝানো ক্রিপ্টোগ্রাফি অথবা জটিল অপ্টিমাইজেশন সমস্যার সমাধান, অনেক কম সময়ে করা যেতে পারে।

হজ এর অনুমান

La হোজ অনুমান ক্ষেত্রে উদ্ভূত হয় বীজগণিত জ্যামিতি এবং বীজগাণিতিক টপোলজি. সাধারণ ভাষায়, এটি বলে যে একটি জটিল প্রজেক্টিভ বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের জন্য, ডি রহ্যাম কোহোমোলজিতে প্রদর্শিত নির্দিষ্ট চক্রগুলির সাথে একটি সঙ্গতি রয়েছে বীজগণিতের ক্লাস উপজাতের এই বীজগণিত চক্রগুলি বীজগাণিতিক সাবম্যানিফোল্ডগুলির যুক্তিসঙ্গত রৈখিক সমন্বয় হবে।

এই অনুমানের জন্য সবচেয়ে বড় চ্যালেঞ্জগুলির মধ্যে একটি হল এটি এমন একটি ক্ষেত্রে যেখানে উভয় শৃঙ্খলা জড়িত, এবং এটির সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় সরঞ্জামগুলি কেবলমাত্র এর অন্তর্গত নাও হতে পারে। বীজগণিত ক্ষেত্র o পার্থক্যমুলক, কিন্তু তাদের অনেক বেশি ট্রান্সভার্সাল এবং জটিল কৌশল প্রয়োজন।

রিমান অনুমান

জার্মান গণিতবিদ 1859 সালে পোজ করেছিলেন বার্নহার্ড রিম্যান, এই অনুমানটি প্রাচীনতম এবং সবচেয়ে রহস্যময় গাণিতিক সমস্যাগুলির মধ্যে একটি। দ রিমান অনুমান এর বিতরণ বোঝায় মৌলিক সংখ্যা এবং বলে যে রিম্যান জেটা ফাংশনের সমস্ত অ-তুচ্ছ শূন্যের মান 1/2 তাদের আসল অংশ হিসাবে রয়েছে।

রিম্যান জেটা ফাংশনের মৌলিক সংখ্যার সাথে খুব ঘনিষ্ঠ সম্পর্ক রয়েছে, এবং যদি এই অনুমানটি প্রমাণিত হয়, তাহলে এর একটি গভীর উপলব্ধি মৌলিক সংখ্যার বণ্টন. অনেক গণিতবিদ বিশ্বাস করেন যে অনুমানটি সঠিক, এবং ট্রিলিয়ন শূন্য গণনা করা হয়েছে যা অনুমানের সাথে খাপ খায়, কিন্তু এখনও পর্যন্ত একটি সম্পূর্ণ প্রমাণ অর্জিত হয়নি।

ইয়াং-মিলের অস্তিত্ব এবং ভর লাফ

La ইয়াং-মিলস তত্ত্ব এটি কণা পদার্থবিদ্যা এবং কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বের একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ। এটি মূলত মডেল করার জন্য গঠন করা হয়েছিল ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিক ফিল্ড এবং পরে কোয়ান্টাম ক্রোমোডাইনামিক্সে প্রয়োগ করা হয়েছিল, যা পারমাণবিক নিউক্লিয়াসে কোয়ার্ক এবং গ্লুওনের মধ্যে মিথস্ক্রিয়া বর্ণনা করে। গাণিতিক সমস্যাটি ইয়াং-মিলস সমীকরণের অস্তিত্ব এবং কঠোর বৈধতা প্রদর্শন এবং কীভাবে সমীকরণ তৈরি হয় তা বোঝার মধ্যে রয়েছে। ভর ফাঁক.

ভর ব্যবধানের ঘটনাটি বোঝায় কেন তাদের ক্লাসিক্যাল আকারে গ্লুয়নের মতো ভরহীন কণা কোয়ান্টাম তত্ত্বে একটি সসীম ভর অর্জন করে। যদিও সুপার কম্পিউটারে সিমুলেশনগুলি এখনও পর্যন্ত সঞ্চালিত হয়েছে যা অনুমানকে সমর্থন করে, একটি কঠোর গাণিতিক প্রমাণ অধরা থেকে যায়।

নাভিয়ার-স্টোকস সমীকরণ

The নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণ সমীকরণের একটি সেট যা বর্ণনা করে তরল আন্দোলন যেমন তরল এবং গ্যাস। 19 শতকে প্রণয়ন করা, এই সমীকরণগুলি তরল গতিবিদ্যা বোঝার জন্য মৌলিক, বিমানের প্রবাহ থেকে শুরু করে আবহাওয়ার ধরণ এবং সমুদ্রের স্রোতকে প্রভাবিত করে। যাইহোক, দ এই সমীকরণের জটিলতা গণিতবিদদের নির্দিষ্ট কিছু আচরণকে সম্পূর্ণরূপে বোঝার অনুমতি দেয়নি, যেমন অশান্তি গঠন বা লেমিনার প্রবাহ থেকে অশান্ত প্রবাহে রূপান্তর।

গাণিতিক চ্যালেঞ্জের মধ্যে রয়েছে, কিছু প্রাথমিক অবস্থার অধীনে, নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণের একটি মসৃণ সমাধান (অর্থাৎ এককতা ছাড়া) সময়ের সাথে বজায় রাখা যায় কিনা, বা বিপরীতে, এককতা দেখা দেয় যা এর ধারাবাহিকতাকে প্রভাবিত করে।

বার্চ এবং সুইনার্টন-ডায়ার অনুমান

এই অনুমান, ইংরেজ গণিতবিদদের দ্বারা প্রস্তাবিত ব্রায়ান বার্চ y পিটার সুইনারটন-ডায়ার 1960-এর দশকে, তিনি যৌক্তিক সমাধান নিয়ে কাজ করেন উপবৃত্তাকার বক্ররেখা. উপবৃত্তাকার বক্ররেখা হল বীজগাণিতিক বস্তু যেগুলি, তাদের সহজতম সংস্করণে, সমতলে লাইন হিসাবে কল্পনা করা যেতে পারে, এবং সংখ্যা তত্ত্ব এই বক্ররেখার সাথে গাণিতিক বৈশিষ্ট্যের একটি সিরিজ যুক্ত করে।

অনুমানটি পরামর্শ দেয় যে উপবৃত্তাকার বক্ররেখার নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে একটি সসীম বা অসীম সংখ্যক যুক্তিযুক্ত সমাধান রয়েছে কিনা তা নির্ধারণ করার একটি উপায় রয়েছে। এল ফাংশন. এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য ক্রিপ্টোগ্রাফির মতো ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ অগ্রগতি জড়িত থাকবে, কারণ উপবৃত্তাকার বক্ররেখা অনেক আধুনিক এনক্রিপশন সিস্টেমে মৌলিক।

এই সমস্যাগুলির যেকোনো একটি সমাধান করা একটি অভূতপূর্ব কৃতিত্ব হবে এবং একটি বড় আর্থিক পুরস্কার এবং চিরন্তন একাডেমিক যোগ্যতা প্রদানের পাশাপাশি গণিতকে রূপান্তরিত করবে।